Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，，成等差數(shù)列，且，．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）記，，證明：，．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由等差中項得到遞推關(guān)系式子，通過退位相減求出通項公式；

（2）由（1）即可表示新數(shù)列的通項公式，通過放大再由指數(shù)式裂項求和，或用數(shù)學歸納法證明不等式．

（1）因為，，成等差數(shù)列，即，

當時，，兩式相減得，

所以是公比為2的等比數(shù)列，即，

即，由，得，

所以的通項公式．

（2）方法一（放縮法）：

因為，，所以，

當時，

所以

，

當時，，取到“”號，

綜上所述，，

方法二（數(shù)學歸納法）：

因為，，所以，

當時，左邊，右邊，原不等式成立；

假設(shè)當時，原不等式成立，即，

那么，當時，左邊

，即時也成立，

由此可知，原不等式對于任意的均成立．