Question

【題目】已知橢圓的離心率是，上頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）問是否存在斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，，的重心分別為，且以線段直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）根據(jù)離心率、上頂點(diǎn)坐標(biāo)和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）由圓的性質(zhì)可知，由重心坐標(biāo)可將其化為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理的形式，代入上述等式后即可得到關(guān)于的方程，解方程求得，進(jìn)而得到所求直線方程.

（1）由題意得：且，，解得：，

即所求橢圓的方程為.

（2）假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)其方程為.

由得：，

其，解得：.

設(shè)，，則，

又，，，，

由題意知，以線段為直徑的圓過原點(diǎn)，，則，

，

則，解得：.

所以存在這樣的直線，其方程為.