Question

【題目】已知圓經過拋物線的焦點，且與拋物線的準線相切.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）設經過點的直線交拋物線于兩點，點關于軸的對稱點為點，若的面積為6，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x．（2）2x±3y﹣2＝0．

【解析】

（1）根據拋物線的定義即可得解；

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），則C（x2，﹣y2），由拋物線的定義可知，|AF|＝x1+1，|CF|＝x2+1．設直線AB的方程為y＝k（x﹣1），將其與拋物線的方程聯立，消去y可得關于x的一元二次方程，寫出韋達定理；設直線m（AB）的傾斜角為α，則tanα＝k，且sin∠AFC＝|sin（π﹣2α）|＝|sin2α|＝2sinαcosα，將其轉化為只含k的代數式，再利用正弦面積公式得，，結合韋達定理表達式，化簡整理可得，從而解出k的值，進而求得直線m的方程．

（1）由已知可得：圓心（4，4）到焦點F的距離與到準線l的距離相等，即點（4，4）在拋物線E上，

∴16＝8p，解得p＝2．

∴拋物線E的標準方程為y2＝4x．

（2）由已知可得，直線m斜率存在，否則點C與點A重合．

設直線m的斜率為k（k≠0），則直線AB的方程為y＝k（x﹣1）．

設A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立消去y得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0．

∴，x1x2＝1．

由對稱性可知，C（x2，﹣y2），∴|AF|＝x1+1，|CF|＝x2+1．

設直線m（AB）的傾斜角為α，則tanα＝k，

∴，

∴．

由已知可得，解得．

∴直線m的方程為，即2x±3y﹣2＝0．