【題目】楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現了楊輝三角.在歐洲，帕斯卡在1654年也發現了這一規律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形.楊輝三角是中國古代數學的杰出研究成果之一，它把二項式系數圖形化，把組合數內在的一些代數性質直觀地從圖形中體現出來，是一種離散型的數與形的結合.
第0行 | 1 |
第1行 | 1 1 |
第2行 | 1 2 1 |
第3行 | 1 3 3 1 |
第4行 | 1 4 6 4 1 |
第5行 | 1 5 10 10 5 1 |
第6行 | 1 6 15 20 15 6 1 |
（1）記楊輝三角的前n行所有數之和為
，求的通項公式；
（2）在楊輝三角中是否存在某一行，且該行中三個相鄰的數之比為
？若存在，試求出是第幾行；若不存在，請說明理由；
（3）已知n，r為正整數，且
.求證：任何四個相鄰的組合數
，
，
，
不能構成等差數列.
【答案】（1）
（2）存在；第62行（3）證明見解析
【解析】
（1）由二項式定理的性質，楊輝三角第
行的n個數的和為：
，然后求出
即可
（2）由方程
，
解出即可
（3）若有n，r（
），使得
，
，
，
成等差數列，則由等差中項和組合數的知識可得出
，然后可得
，這與，，，成等差數列相矛盾.
（1）由二項式定理的性質，楊輝三角第行的n個數的和為：
，
∴
.
（2）楊輝三角形的第n行由二項式系數
，
，1，2，…，n組成.
如果第n行中有，，
那么
，
，
解這個聯立方程組，得
，
.
即第62行有三個相鄰的數
，
，
的比為
.
（3）若有n，r（），使得，，，成等差數列，
則
，
，
即
，
.
所以有
，
，
經整理得到
，
.
兩式相減可得
而由二項式系數的性質可知，
這與
，
，
，
成等差數列矛盾，
所以原命題得證.
名師導航單元期末沖刺100分系列答案
名校名卷單元同步訓練測試題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），以原點為極點， 
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的方程為
，定點
，點
是曲線
上的動點， 
為
的中點.
（1）求點
的軌跡
的直角坐標方程；
（2）已知直線
與
軸的交點為
，與曲線
的交點為
，若
的中點為
，求
的長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知長度為
的線段
的兩個端點
分別在
軸和
軸上運動，動點
滿足
，設動點的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）過點
，且斜率不為零的直線
與曲線交于兩點
，在軸上是否存在定點
，使得直線
與
的斜率之積為常數？若存在，求出定點的坐標以及此常數；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法錯誤的是（ ）
A.若任意選擇三門課程，選法總數為
B.若物理和化學至少選一門，選法總數為
C.若物理和歷史不能同時選，選法總數為
D.若物理和化學至少選一門，且物理和歷史不能同時選，選法總數為
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，且橢圓上存在一點
，滿足
.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）過橢圓右焦點
的直線
與橢圓交于不同的兩點
，求
的內切圓的半徑的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線E：
－
＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，O為坐標原點，M為OA的中點，若以AM為直徑的圓與E的漸近線相切，則雙曲線E的離心率等于（ ）
A.
B.
C.
D.
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