【題目】如圖，在空間之間坐標系
中，四棱錐
的底面
在平面
上，其中點
與坐標原點
重合，點
在
軸上，
，
，頂點
在
軸上，且
，
.
（1）求直線
與平面
所成角的大小；
（2）設
為
的中點，點
在
上，且
，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）列出
、
、
、
、
的坐標，計算出平面
的一個法向量
，利用空間向量法計算出直線
與平面所成角的正弦值，即可得出直線與平面所成角的大小；
（2）求出點
、
的坐標，計算出平面
和
的法向量
、
，利用空間向量法求出二面角
的余弦值的絕對值，由此可得出二面角的正弦值.
因為四棱錐
的底面
在平面
上，
其中點與坐標原點
重合，點在
軸上，
，
，
頂點在
軸上，且
，
，
所以
，
，
，
，
.
（1）
，
，
，
設平面的一個法向量為
，
則
，即
，取
，則
，
，得
.
所以
.
所以直線與平面所成角的大小為；
（2）因為為
的中點，點在
上，且
，所以
，
.
設平面的一個法向量為
，
則
，即
，取
，則
，
，得
.
又平面的一個法向量為
，所以
.
所以二面角的正弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線E：
－
＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，O為坐標原點，M為OA的中點，若以AM為直徑的圓與E的漸近線相切，則雙曲線E的離心率等于（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，已知圓
圓心為
，過點
且斜率為
的直線與圓相交于不同的兩點
、
．
（
）求的取值范圍；
（
）是否存在常數，使得向量
與
共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地舉行水上運動會，如圖，岸邊有
兩點，
，小船從
點以
千米/小時的速度沿
方向勻速直線行駛，同一時刻運動員出發，經過
小時與小船相遇.（水流速度忽略不計）
（1）若
，
，運動員從
處出發游泳勻速直線追趕，為保證在1小時內（含1小時）能與小船相遇，試求運動員游泳速度的最小值；
（2）若運動員先從處沿射線
方向在岸邊跑步勻速行進
小時后，再游泳勻速直線追趕小船.已知運動員在岸邊跑步的速度為4千米小時，在水中游泳的速度為2千米小時，試求小船在能與運動員相遇的條件下的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的左、右焦點分別為
，
，左頂點為
，離心率為
，點
是橢圓上的動點，
的面積的最大值為
.
(1)求橢圓的方程；
(2)設經過點的直線
與橢圓相交于不同的兩點
，
，線段
的中垂線為
.若直線與直線相交于點
，與直線
相交于點
，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知拋物線
和⊙
：
，過拋物線C上一點
（
）做兩條直線與⊙相切于
兩點，分別交拋物線于
兩點.
（1）當
的角平分線垂直
軸時，求直線
的斜率；
（2）若直線
在
軸上的截距為
，求的最小值.
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