Question

【題目】某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng).
（1）求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；
（2）若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為x，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】
（1）解：記事件 ｛從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球｝， ｛從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球｝

｛顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)｝， ｛顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)｝， ｛顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)｝，由題意， 與 相互獨(dú)立， 與 互斥， 與 互斥，且 ， ， ，

∵ ， ，∴ ，

，

故所求概率為

（2）解：顧客抽獎(jiǎng)3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由（1）知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為 ，∴ ，

于是 ， ， ，

，故x的分布列為

x	0	1	2	3
p

x的數(shù)學(xué)期望為 .

【解析】（1）顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的情況有：顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)，顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)，分別求出兩種情況的概率并相加即為所求；（2）顧客抽獎(jiǎng)3次為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由（1）知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為，根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式P（X=k）=pk(1-p）n-k分別求出X所有可能取值的概率，列出分布列，根據(jù)服從二項(xiàng)分布的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E（X）=np即可求解.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列才能正確解答此題．