Question

【題目】如圖，在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.

（1）求兩條異面直線AC1與BE所成角的余弦值；

（2）求直線BB1與平面BED1F所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）先根據題意建立空間直角坐標系，求得向量和向量的坐標，再利用線線角的向量方法求解.

（2）先求得平面BED1F的一個法向量，易知向量的坐標，再利用線面角的向量方法求解.

（1）以D為原點，建立空間直角坐標系Dxyz，如圖所示，

則A(3，0，0)，C1(0，3，3)，＝(－3，3，3)，

B(3，3，0)，E(3，0，2)，＝(0，－3，2)．

所以cos〈〉＝＝＝，

故兩條異面直線AC1與BE所成角的余弦值為.

（2） B(3，3，0)，＝(0，－3，2)，＝(3，0，－1)．

設平面BED1F的一個法向量為n＝(x,y,z)，

由得

所以則n＝(x，2x，3x)，不妨取n＝(1，2，3)，

設直線BB1與平面BED1F所成的角為α，則

sinα＝|cos〈，n〉|＝＝.

所以直線BB1與平面BED1F所成角的正弦值為.