Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓過點(diǎn)，焦點(diǎn)，圓的直徑為．

（1）求橢圓及圓的方程；

（2）設(shè)直線與圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)．若的面積為，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）由橢圓焦點(diǎn)可以確定，再利用點(diǎn)代入橢圓方程即可求出，從而得到橢圓方程；由圓O的直徑為，即可知圓心坐標(biāo)為，半徑為，從而得到圓的方程.

（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，即可表示出直線的方程，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，利用求根公式求出，然后利用弦長(zhǎng)公式表示，而由條件可求出，結(jié)合，即可求出,從而求出直線的方程.

(1)因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為，

可設(shè)橢圓C的方程為．

又點(diǎn)在橢圓C上，所以，解得

因此，橢圓C的方程為．

因?yàn)閳AO的直徑為，所以其方程為．

（2）設(shè)直線與圓O相切于，

則，所以直線的方程為，

即．由消去y，得

①

因?yàn)槿�角�?/span>OAB的面積為，所以，從而，

設(shè)，由①得，

所以．因?yàn)?/span>，

所以，即，解得舍去），

則，因此P的坐標(biāo)為．

故直線l的方程為:．