Question

【題目】已知為坐標原點，橢圓：的焦距為，直線截圓：與橢圓所得的弦長之比為，橢圓與軸正半軸的交點分別為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設點（且）為橢圓上一點，點關于軸的對稱點為，直線，分別交軸于點，.試判斷是否為定值？若是求出該定值，若不是定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，定值為4

【解析】

（1）由焦距可知c的值，直線截圓：的弦長是2a，截橢圓的弦長由直線和橢圓方程聯立，利用韋達定理可以求出，根據兩段弦長之比為可以求出a，即得；（2）A點坐標是橢圓與軸正半軸的交點，可以由（1）得出，點關于軸的對稱點為，分別求出直線AB和直線AC的方程，可得兩直線與x軸的交點M，N的坐標，最后得出為定值。

（1）依題意：，，直線與圓相交弦長為直徑.

又∵，∴弦長為，

∴有.又，∴求得，.

∴橢圓的標準方程：.

（2）由（1）可知，點的坐標為，

直線的方程為，令，得.因為點關于軸的對稱點為，所以.

所以直線的方程為，令，得.

∵.

又∵點在橢圓上，所以，即.

∴是否為定值，求得定值為4.