Question

【題目】已知函數

(1)求的單調區間；

(2)若

（i）證明恰有兩個零點；

（ii）設為的極值點，為的零點，且證明：.

Answer 1

【答案】(1)在和上單調遞增；(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.

【解析】

(1)對函數求導,利用導數研究單調性即可;

(2)(i)對求導研究其單調性,可得在上單調遞減,在上單調遞增,其中,再證明,而,,故利用零點存在性定理即可證明恰有兩個零點;

(ii)由(i)可知,且故結合即可求出,從而得到,再利用不等式(),即可放縮等式,得出結論.

(1)

,

因此,在和上單調遞增;

(2)(i),

對求導得,,

當時,,則;

當時,令

則在上單調遞增,

而,

故存在,使,即,

且在上,在上,

因此,在上單調遞減,在上單調遞增,

所以,

又,則,

而,

,(注:取值不唯一)

恰有兩個零點;

(ii)為的極值點,為的零點,且,

故由(i)可知,并且有

,

則,

因此,即,

而當時,,

下面證明此結論:

令,求導得,

則在上時,;在上時,,

所以在上單調遞減,在上單調遞增,

因此,

所以,當時,

那么對于有,

可得,而,

即.