Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分別為PC，CD的中點，DE=EC．

（1）求證：平面ABE⊥平面BEF；
（2）設PA=a，若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角 ，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

∵AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F為CD的中點，

∴ABFD為矩形，AB⊥BF．

∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF

∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE面ABE，

∴平面ABE⊥平面BEF

（2）解：∵DE=EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD

又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA．

以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間坐標系，

則B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，a），C（2，2，0），E（1，1， ）

平面BCD的法向量 ，

設平面EBD的法向量為 ，

由 ，即 ，取y=1，得x=2，z=

則 ．

所以 ．

因為平面EBD與平面ABCD所成銳二面角 ，

所以cosθ∈ ，即 ．

由 得：

由 得： 或 ．

所以a的取值范圍是

【解析】（1）由題目給出的條件，可得四邊形ABFD為矩形，說明AB⊥BF，再證明AB⊥EF，由線面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根據面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；（2）以A點為坐標原點，AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間坐標系，利用平面法向量所成交與二面角的關系求出二面角的余弦值，根據給出的二面角的范圍得其余弦值的范圍，最后求解不等式可得a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．