Question

【題目】定義在R上的函數f（x）＞0，對任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x） f（y）成立，且當x＞0時，f（x）＞1．

（1）求f（0）的值；

（2）求證f（x）在R上是增函數；

（3）若f（k3x）f（3x﹣9x﹣2）＜1對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（0）＝1；（2）見解析；（3）k＜

【解析】

（1）利用賦值法求f（0）的值；

（2）根據增函數定義進行證明，其中利用條件“當x＞0時，f（x）＞1”比較大小是解題關鍵；

（3）先根據單調性化簡不等式得32x﹣（1+k）3x+2＞0，再分離變量轉化為求對應函數y=3x+最值,最后根據基本不等式求函數最值，即得結果.

（1）令x＝0，y＝1，則f（0+1）＝f（0）f（1），所以f（1）＝f（0）f（1），

∵當x＞0時，f（x）＞1，∴f（1）＞1，∴f（0）＝1；

（2）設x1＜x2，則x2﹣x1＞0，∵當x＞0時，f（x）＞1，∴f（x2﹣x1）＞1

∴f（x2）＝f（x2﹣x1+x1）＝f（x2﹣x1）f（x1）＞f（x1），∴f（x）在R上是增函數；

（3）∵f（x）在R上是增函數，f（k3x） f（3x﹣9x﹣2）＝f（k 3x+3x﹣9x﹣2）＜f（0），

∴32x﹣（1+k）3x+2＞0對任意x∈R成立．∴1+k＜3x+，∵3x＞0，∴3x+≥.

∴k＜．