Question

【題目】在四棱錐中， 平面， ， ， ， ， ， 是的中點， 在線段上，且滿足.

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在線段上是否存在點，使得與平面所成角的余弦值是，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】分析：該題是立體幾何的有關問題，第一問在證明線面平行時，可以利用常規方法，用線面平行的判定定理來證明，也可以應用空間向量來證明，用直線的方向向量與平面的法向量是垂直的即可，第二問求二面角的余弦值，用兩個平面的法向量所成角的余弦值來求得，第三問假設其存在，設出點的坐標，建立等量關系式從而求得結果，做好取舍即可.

詳解：（1）證明：取的中點， 的中點，連接和，

∴且，

∴， 分別為， 的中點.

且

∴且，四邊形為平行四邊形，

∴， 平面， 平面，

∴平面.

（1）由題意可得， ， 兩兩互相垂直，如果，以為原點， ， ， 分別是， ， 軸建立空間直角坐標系，則， ， ， ，

設平面的法向量為

，

∴，令∴

又，∴，∴

平面

∴ 平面

（2）設點坐標為

則， ，

由得，∴

設平面的法向量為，

由得即令∴

則

又由圖可知，該二面角為銳角

故二面角的余弦值為

（3）設， ，∴

∴

∴

∵與平面所成角的余弦值是∴其正弦值為

∴，整理得：

，解得： ， （舍）

∴存在滿足條件的點， ，且