Question

【題目】已知橢圓：的右焦點，且經過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）點是坐標原點，若直線與橢圓相切，過作，垂足為，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由題意已知右焦點和過點,用待定系數法求出和的值，即可求出橢圓的方程．

（2）分切點為橢圓頂點和不是橢圓頂點，當切點不過橢圓頂點時，設出切線方程，聯立切線方程和橢圓方程，由判別式等于0得到與的關系，再求出所在直線方程，聯立兩直線方程求得的坐標，由兩點間的距離公式可得為定值2.

（1）解：由題意知，設橢圓的方程為，可得，解得，，

橢圓的方程為；

（2）證明：當直線過橢圓長軸兩個頂點時，與頂點重合，此時；

當直線過橢圓短軸兩個頂點時，可得；

當直線不過橢圓頂點時，設切線方程為，

聯立，得．

由，得．

，且，

所在直線方程為，

聯立，解得，

．

故為定值2．