Question

【題目】由n（n≥2）個不同的數構成的數列a1 ， a2 ， …an中，若1≤i＜j≤n時，aj＜ai（即后面的項aj小于前面項ai），則稱ai與aj構成一個逆序，一個有窮數列的全部逆序的總數稱為該數列的逆序數．如對于數列3，2，1，由于在第一項3后面比3小的項有2個，在第二項2后面比2小的項有1個，在第三項1后面比1小的項沒有，因此，數列3，2，1的逆序數為2+1+0=3；同理，等比數列 的逆序數為4．
（1）計算數列 的逆序數；
（2）計算數列 （1≤n≤k，n∈N*）的逆序數；
（3）已知數列a1 ， a2 ， …an的逆序數為a，求an ， an﹣1 ， …a1的逆序數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵{an}為單調遞減數列，∴逆序數為
（2）解：當n為奇數時，a1＞a3＞…＞a2n﹣1＞0．

當n為偶數時：

∴0＞a2＞a4＞…＞a2n．

當k為奇數時，逆序數為 ；

當k為偶數時，逆序數為

（3）解：在數列a1，a2，…an中，若a1與后面n﹣1個數構成p1個逆序對，則有（n﹣1）﹣p1不構成逆序對，所以在數列an，an﹣1，…a1中，

逆序數為

【解析】（1）由{an}為單調遞減數列，可得逆序數為99+98+…+1．（2）當n為奇數時，a1＞a3＞…＞a2n﹣1＞0．當n為偶數時：0＞a2＞a4＞…＞a2n ． 可得逆序數．（3）在數列a1 ， a2 ， …an中，若a1與后面n﹣1個數構成p1個逆序對，則有（n﹣1）﹣p1不構成逆序對，可得在數列an ， an﹣1 ， …a1中，逆序數為（n﹣1）﹣p1+（n﹣2）﹣p2+…+（n﹣n）﹣pn ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．