Question

【題目】如圖，我海監船在D島海域例行維權巡航，某時刻航行至A處，此時測得其北偏東30°方向與它相距20海里的B處有一外國船只，且D島位于海監船正東18海里處．
（1）求此時該外國船只與D島的距離；
（2）觀測中發現，此外國船只正以每小時4海里的速度沿正南方航行．為了將該船攔截在離D島12海里的E處（E在B的正南方向），不讓其進入D島12海里內的海域，試確定海監船的航向，并求其速度的最小值（角度精確到0.1°，速度精確到0.1海里/小時）．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，在△ABD中，∠DAB=60°，

由余弦定理得DB2=AD2+AB2﹣2ADABcos60°=182+202﹣2×18×15×cos60°=364，

∴ ，

即此時該外國船只與D島的距離為 海里

（2）解：法一、過點B作BH⊥AD于點H，

在Rt△ABH中，AH=10，∴HD=AD﹣AH=8，

以D為圓心，12為半徑的圓交BH于點E，連結AE、DE，

在Rt△DEH中，HE= ，∴ ，

又AE= ，

∴sin∠EAH= ，則 ≈41.81°．

外國船只到達點E的時間 （小時）．

∴海監船的速度 （海里/小時）．

又90°﹣41.81°=48.2°，

故海監船的航向為北偏東48.2°，速度的最小值為6.4海里/小時．

法二、建立以點A為坐標原點，AD為x軸，過點A往正北作垂直的y軸．

則A（0，0），D（18，0）， ，設經過t小時外國船到達點 ，

又ED=12，得 ，此時 （小時）．

則 ， ，

∴監測船的航向東偏北41.81°．

∴海監船的速度 （海里/小時）．

【解析】（1）依題意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理求得DB；（2）法一、過點B作BH⊥AD于點H，在Rt△ABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，進一步得到sin∠EAH，則∠EAH可求，求出外國船只到達E處的時間t，由 求得速度的最小值． 法二、建立以點A為坐標原點，AD為x軸，過點A往正北作垂直的y軸．可得A，D，B的坐標，設經過t小時外國船到達點 ，結合ED=12，得 ，列等式求得t，則 ， ，再由 求得速度的最小值．