Question

【題目】.已知函數，.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，求證：函數恰有兩個零點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）將代入函數的解析式得，求出和的值，然后利用點斜式可得出所求切線的方程；

（2）可得出，利用導數分析函數在區間上的單調性，利用零點存在定理證明出函數在區間上有且只有一個零點，從而可證明出結論成立.

（1）當時，，則，，.

因此，曲線在點處的切線方程為，即；

（2），則.

，則，令，得，列表如下：

		極大值

所以，函數在處取得極大值，亦即最大值，即.

令，，則，

所以，函數在上單調遞增，則，

，且，

所以，函數在區間上有一個零點，

，所以，函數在區間上單調遞減，

當時，則，所以，函數在區間上沒有零點.

綜上所述，函數恰有兩個零點.