Question

已知雙曲線C：-=1（0＜＜1）的右焦點為B，過點B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩點，試確定的范圍，使·=0，其中點O為坐標原點.

Answer 1

≤＜.   

設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由已知易求B（1，0），
①當MN垂直于x軸時，MN的方程為x=1，
設M（1，y₀），N（1，-y₀）（y₀＞0），
由·=0，得y₀=1，
∴M（1，1），N（1，-1）.
又M（1，1），N（1，-1）在雙曲線上，
∴-=1²+-1=0=，                             4分
因為0＜＜1,所以=.                                            5分
②當MN不垂直于x軸時，設MN的方程為y=k(x-1).
由,
得［-(1-)k²］x²+2(1-)k²x-(1-)(k²+)="0,                             " 8分
由題意知：-(1-)k²≠0,
所以x₁+x₂=,
x₁x₂=,
于是y₁y₂=k²(x₁-1)(x₂-1)=,                                 10分
因為·=0,且M、N在雙曲線右支上，
所以
?＜＜.                                  13分
由①②，知≤＜.                                          14分