Question

已知雙曲線=1的右焦點是F，右頂點是A,虛軸的上端點是B，·=6-4，∠BAF=150°.
（1）求雙曲線的方程；
（2）設Q是雙曲線上的點，且過點F、Q的直線l與y軸交于點M，若+2=0，求直線l的斜率.

Answer 1

（1）（2）k=±

（1）由條件知A(a,0),B(0,b),F(c,0)
·=（-a, b)·(c-a,0)=a(a-c)=6-4

·

·

cos∠BAF=

=-=cos150°=-.
∴a=c,代入a(a-c)=6-4中得c=2.
∴a=,b²=c²-a²=2,故雙曲線的方程為.
(2)∵點F的坐標為（2，0）.
∴可設直線l的方程為y=k(x-2),
令x=0，得y=-2k，即M(0,-2k)
設Q（m,n），則由+2=0得
(m,n+2k)+2(2-m,-n)=(0,0).
即(4-m,2k-n)=（0,0).
即，∵.
∴=1，得k²=，k=±.