Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，，點在上，且．

（1）點在上，，求證：平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）先證明四邊形為平行四邊形，得，則，又可得，即可證明平面；

（2）根據線面角定義找出與平面所成角，得的長度，然后建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的法向量，再利用向量法求出二面角的余弦值.

（1）∵，，∴，

∵底面是直角梯形，，，

∴，即，則，

∵，，∴，

∴四邊形是平行四邊形，則，∴，

∵底面，∴，

∵，∴平面．

（2）∵，，∴平面，則為直線與平面所成的角，

則，即，

取的中點為，連接，則，以點為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

∴，，

設平面的法向量，則，

即，令，則，，∴，

∵是平面的一個法向量，∴，

即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．