Question

【題目】在銳角△ABC中，a＝2，_______，求△ABC的周長l的范圍．

在①(﹣cos，sin)，(cos，sin)，且，②cosA(2b﹣c)＝acosC，③f(x)＝cosxcos(x)，f(A)

注：這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并對其進行求解．

Answer 1

【答案】l△ABC∈(6+2，6]．

【解析】

選①時，由平面向量的數量積與三角恒等變換求出A的值，再利用正弦定理和三角恒等變換求出△ABC周長的取值范圍；

選②時，由正弦定理和三角恒等變換求出A的值，再利用正弦定理和三角恒等變換求出△ABC周長的取值范圍；

選③時，由三角恒等變換求得A的值，再利用正弦定理和三角恒等變換求出△ABC周長的取值范圍．

解：若選①，則由(﹣cos，sin)，(cos，sin)，且，

得，∴cosA，

又A∈(0，)，

所以A；

又，所以，，

△ABC的周長為，

即；

因為銳角△ABC中，A，所以，，

所以B∈(，)，

所以B∈(，)，

所以△ABC的周長為l△ABC∈(6+2，6]．

若選②，由cos A(2b﹣c)＝acos C，

所以2bcosA＝acosC+ccosA，

所以2sinBcosA＝sinAcosC+cosAsinC＝sin(A+C)＝sinB；

又B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以cosA；

又A∈(0，)，所以A；

又，所以，，

△ABC的周長為，

即；

因為銳角△ABC中，A，所以，，

所以B∈(，)，

所以B∈(，)，

所以△ABC的周長為l△ABC∈(6+2，6]．

若選③，則f(x)＝cos xcos(x)

cos xsin x

(cos2xsin2x)

sin(2x)，

又f(A)，所以sin(2A)，

又A∈(0，)，所以A；

又，所以，，

△ABC的周長為，

即；

因為銳角△ABC中，A，所以，，

所以B∈(，)，

所以B∈(，)，

所以△ABC的周長為l△ABC∈(6+2，6]．