Question

【題目】已知在梯形ABCD中，∠ADC= ，AB∥CD，PC⊥平面ABCD，CP=AB=2DC=2DA，點E在BP上，且EB=2PE．
（1）求證：DP∥平面ACE；
（2）求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接DB交AC于點O，連接OE，

∵AB∥CD，∴ ，

∵EB=2PE，∴ ，

∴OE∥PD．

∵DP平面ACE，OE平面ACE，

∴DP∥平面ACE

（2）解：設CD=1，∵∠ADC= ，且PC⊥平面ABCD，

故以C為原點，過點C與AD平行的直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸距離空間直角坐標系．

則C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），

設E（xE，yE，zE），由EB=2PE，得 ，

∴（xE，yE，zE﹣2）= （1，﹣1，﹣2），得E（ ）．

，

設平面ACE的一個法向量為 ．

由 ，取x=1，得 ．

取AC的中點M，連接MD，可得M（ ），

∴ ．

由DA=DC，得MD⊥AC，

由PC⊥底面ABCD，得MD⊥PC，

又AC∩PC=C，∴MD⊥平面PAC，

∴ 是平面PAC的一個法向量．

∴|cos＜ ＞|= ．

由圖可知，二面角E﹣AC﹣P為銳二面角，

∴二面角E﹣AC﹣P的余弦值為 ．

【解析】（1）連接DB交AC于點O，連接OE，由已知結合平行線成比例可得OE∥PD．再由線面平行的判定可得DP∥平面ACE；（2）設CD=1，由∠ADC= ，且PC⊥平面ABCD，故以C為原點，過點C與AD平行的直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸距離空間直角坐標系．求出平面ACE的一個法向量，再證明MD⊥平面PAC，可得 是平面PAC的一個法向量．由兩法向量所成角的余弦值求得二面角E﹣AC﹣P的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．