Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，點 ，圓F2：x2+y2﹣2 x﹣13=0，以動點P為圓心的圓經過點F1 ， 且圓P與圓F2內切．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）若直線l過點（1，0），且與曲線E交于A，B兩點，則在x軸上是否存在一點D（t，0）（t≠0），使得x軸平分∠ADB？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓F2：x2+y2﹣2 x﹣13=0化為 ．

故F2（ ），半徑r=4．

而 ＜4，∴點F1在圓F2內，

又由已知得圓P的半徑R=|PF1|，由圓P與圓F2內切得，圓P內切于圓F2，即|PF2|=4﹣|PF1|，

∴|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|，

故點P的軌跡是以F1、F2為焦點，長軸長為4的橢圓，

有c= ，a=2，則b2=a2﹣c2=1．

故動點的軌跡方程為

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），

當直線l的斜率不為0時，設直線l：x=ny+1．

聯立 ，得（n2+4）y2+2ny﹣3=0．

△=16（n2+3）＞0恒成立．

， ．①

設直線DA、DB的斜率分別為k1，k2，則由∠ODA=∠ODB得，

=

= = ．

∴2ny1y2+（1﹣t）（y1+y2）=0，②

聯立①②，得n（t﹣4）=0．

故存在t=4滿足題意；

當直線l的斜率為0時，直線為x軸，取A（﹣2，0），B（2，0），滿足∠ODA=∠ODB．

綜上，在x軸上存在一點D（4，0），使得x軸平分∠ADB．

【解析】（1）化圓的方程為標準方程，求出圓心坐標和半徑，畫出圖形，數形結合可得|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|，故點P的軌跡是以F1、F2為焦點，長軸長為4的橢圓， 由此求出動點的軌跡方程；（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），當直線l的斜率不為0時，設直線l：x=ny+1．聯立直線方程與橢圓方程，化為關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系求得A，B的縱坐標的和與積，結合斜率關系求得t值；當直線l的斜率為0時，直線為x軸，取A（﹣2，0），B（2，0），滿足∠ODA=∠ODB．綜上，在x軸上存在一點D（4，0），使得x軸平分∠ADB．