Question

【題目】已知 ，函數 .
（1）當 時，解不等式 ；
（2）若關于 的方程 的解集中恰好有一個元素，求 的取值范圍；
（3）設 ，若對任意 ，函數 在區間 上的最大值與最小值的差不超過1，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得 ，
解得 ．
（2）解： ， ，
當 時， ，經檢驗，滿足題意．
當 時， ，經檢驗，滿足題意．
當 且 時， ， ， ．
是原方程的解當且僅當 ，即 ；
是原方程的解當且僅當 ，即 ．
于是滿足題意的 ．
綜上， 的取值范圍為 ．
（3）解：當 時， ， ，
所以 在 上單調遞減．
函數 在區間 上的最大值與最小值分別為 ， ．
即 ，對任意
成立．
因為 ，所以函數 在區間 上單調遞增， 時，
有最小值 ，由 ，得 ．
故 的取值范圍為 ．
【解析】（1）當a=5時，解導數不等式即可．
（2）根據對數的運算法則進行化簡，轉化為一元二次方程，討論a的取值范圍進行求解即可．
（3）根據條件得到f（t）-f（t+1）≤1，恒成立，利用換元法進行轉化，結合對勾函數的單調性進行求解即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數單調性的性質和復合函數單調性的判斷方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集；復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”．