Question

已知a，x∈R，a≤x⁴-4x³+4x²+1恒成立，則a的最大值為（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令y=x⁴-4x³+4x²+1，對(duì)y求導(dǎo)，并求y'=0的解，得到0，1，2三個(gè)極值點(diǎn)．其中0，2為極小值點(diǎn)，1為極大值點(diǎn)，所以可知y的最小值，出現(xiàn)在x=0和2處，有y（0）=y（2）=1，所以當(dāng)a小于等于1時(shí)，條件中的式子恒成立，即a的最大值為1．

解答： 解：設(shè)y=x⁴-4x³+4x²+1，
則y′=4x³-12x²+8x，
由y′=0，得x₁=0，x₂=1，x₃=2，
x∈（-∞，0）時(shí)，y′＜0；x∈（0，1）時(shí)，y′＞0；
x∈（1，2）時(shí)，y′0．
∴x=0，x=2時(shí)函數(shù)有極小值，x=1時(shí)函數(shù)極大值，
∴y的最小值，出現(xiàn)在x=0和2處，
∵y（0）=y（2）=1，a≤x⁴-4x³+4x²+1恒成立，
∴a≤1，∴a的最大值為1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．