Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，.

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由底面為菱形，得，再由底面，可得，結(jié)合線面垂直的判定可得平面；

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線及過點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值.

（1）證明：底面為菱形，，

底面，平面，

又，平面，

平面；

（2）解：，，為等邊三角形，

.

底面，是直線與平面所成的角為，

在中，由，解得.

如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線及過點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸

建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，.

，，，.

設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，.

由，取，得；

由，取，得.

.

平面與平面所成銳二面角的余弦值為.