Question

（本小題12分）橢圓:的兩個焦點為,點在橢圓上，且.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線過圓的圓心，交橢圓于兩點，且關于點對稱，求直線的方程。

Answer 1

（1）（2）

試題分析：
(Ⅰ)依題可設橢圓方程為,
因為點在橢圓上，所以 ，則    ……2分
在△中，， 故,
從而，
所以橢圓的方程為 .                                   ……4分
(Ⅱ)（解法一）設的坐標分別為。
已知圓的方程為,所以圓心的坐標為.
從而可設直線的方程為,
代入橢圓的方程得.……8分
因為關于點對稱. 所以 且  
解得，所以直線的方程為 即
(經檢驗，所求直線方程符合題意)                                ……12分
（解法二）已知圓的方程為，故圓心為.
設的坐標分別為。
由題意 ①
  ②
由①－②得：       ③
因為關于點對稱，所以，
代入③得， 即直線的斜率，              ……10分
所以直線的方程為，即
(經檢驗，所求直線方程符合題意.)                           ……12分
點評：直線與圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線等）的位置關系是每年高考的重點也是難點，學生在復習備考時，要了解直線與圓錐曲線的位置關系問題的解決方法，尤其是通性通法和常用技巧，如設而不求、點差法等，另外還要注意計算能力的培養與訓練，養成良好的運算習慣.