Question

【題目】已知函數，其中， 是自然對數的底數.

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）求函數的單調減區間；

（3）若在恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）當時， 無單調減區間；當時， 的單調減區間是；當時， 的單調減區間是.（3）

【解析】試題分析：（1）先對函數解析式進行求導，再借助導數的幾何意義求出切線的斜率，運用點斜式求出切線方程；（2）先對函數的解析式進行求導，然后借助導函數的值的符號與函數單調性之間的關系進行分類分析探求；（3）先不等式進行等價轉化，然后運用導數知識及分類整合的數學思想探求函數的極值與最值，進而分析推證不等式的成立求出參數的取值范圍。

解：(1)因為，所以.

因為，所以.

所以切線方程為.

(2) 因為，

當時， ，所以無單調減區間.

當即時，列表如下：

所以的單調減區間是.

當即時， ，列表如下：

所以的單調減區間是.

綜上，當時， 無單調減區間；

當時， 的單調減區間是；

當時， 的單調減區間是.

(3) .

當時，由(2)可得， 為上單調增函數，

所以在區間上的最大值，符合題意.

當時，由(2)可得，要使在區間上恒成立，

只需， ，解得.

當時，可得， .

設，則，列表如下：

所以，可得恒成立，所以.

當時，可得，無解.

綜上， 的取值范圍是.