Question

【題目】甲、乙兩位小學生各有2008年奧運吉祥物“福娃”5個（其中“貝貝”、“晶晶”、“歡歡”、“迎迎”和“妮妮各一個”），現以投擲一個骰子的方式進行游戲，規則如下：當出現向上的點數是奇數時，甲贏得乙一個福娃；否則乙贏得甲一個福娃，規定擲骰子的次數達9次時，或在此前某人已贏得所有福娃時游戲終止．記游戲終止時投擲骰子的次數為ξ
（1）求擲骰子的次數為7的概率；
（2）求ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當ξ=7時，若甲贏意味著“第七次甲贏，前6次贏5次，

但根據規則，前5次中必輸1次”，由規則，每次甲贏或乙贏的概率均為 ，

因此P（ξ=7）=

（2）解：設游戲終止時骰子向上的點數是奇數出現的次數為m，

向上的點數是偶數出現的次數為n，

則由 ，可得：

當m=5，n=0或m=0，n=5時，ξ=5；

當m=6n=1或m=1，n=6時，ξ=7

當m=7，n=2或m=2，n=7時，ξ=9．

因此ξ的可能取值是5、7、9

每次投擲甲贏得乙一個福娃與乙贏得甲一個福娃的可能性相同，其概率都是

所以ξ的分布列是：

故 ．

【解析】對于（1）求擲骰子的次數為7的概率．首先可以分析得到甲贏或乙贏的概率均為 ，若第7次甲贏意味著“第七次甲贏，前6次贏5次，但根據規則，前5次中必輸1次”．若乙贏同樣．故可根據二項分布列出式子求解即可．
對于（2）求ξ的分布列及數學期望Eξ．故可以設奇數出現的次數為m，偶數出現的次數為n．然后根據題意列出關系式，求出可能的m n的值又ξ=m+n，求出ξ的可能取值，然后分別求出概率即可得到ξ的分布列，再根據期望公式求得Eξ即可．
【考點精析】關于本題考查的離散型隨機變量及其分布列，需要了解在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能得出正確答案．