Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，，，為邊的中點，將沿直線翻折成，設為線段的中點．則在翻折過程中，給出如下結論：

①當不在平面內時，平面；

②存在某個位置，使得；

③線段的長是定值；

④當三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為．

其中，所有正確結論的序號是______．（請將所有正確結論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①取DC的中點N，連接NM、NB，；MN∥A1D，NB∥DE，所以面MNB∥面A1DE，所以MB∥面A1DE；

②用反證法，假設存在某個位置，使DE⊥A1C，在△CDE中，由勾股定理易知，CE⊥DE，再由線面垂直的判定定理可知，DE⊥面A1CE，所以DE⊥A1E，與已知相矛盾；

③由①可知，可得MN、NB和∠MNB均為定值，在△MNB中，由余弦定理可知，MB2＝MN2+NB2﹣2MNNBcos∠MNB，所以線段BM的長是定值；

④當體積最大時，平面平面，可得平面，設外接球球心為,半徑為,根據球的性質可知，即可求出半徑，計算球的表面積.

①取DC的中點N，連接NM、NB，如圖，

則MN∥A1D，NB∥DE，且MN∩NB＝N，A1D∩DE＝D，所以面MNB∥面A1DE，所以MB∥面A1DE，即①正確；

且MN＝＝定值；NB∥DE，且NB＝DE＝定值，所以∠MNB＝∠A1DE＝定值，

②假設存在某個位置，使DE⊥A1C．由AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°可求得DE＝1，，所以CE2+DE2＝CD2，即CE⊥DE，因為A1C∩CE＝C，所以DE⊥面A1CE，因為A1E面A1CE，所以DE⊥A1E，與已知相矛盾，即②錯誤；

③由①可知，MN∥A1D且MN＝＝定值；NB∥DE，且NB＝DE＝定值，所以∠MNB＝∠A1DE＝定值，由余弦定理得，MB2＝MN2+NB2﹣2MNNBcos∠MNB，所以BM的長為定值，即③正確；

④當平面平面時，三棱錐體積最大，此時因為,是平面與平面的交線，所以平面，設正三角形中心為,棱錐外接球球心為,半徑為，則，設與交于，連接，，如圖：

易知，，由題意可知為邊長為1的等邊三角形，,

則有,，

所以，故球的表面積為，即④正確.

故答案為：①③④．