Question

【題目】已知點在拋物線 上， 點到拋物線的焦點的距離為2，直線

與拋物線交于兩點.

（1）求拋物線的方程；

（2）若以為直徑的圓與軸相切，求該圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）拋物線y2=2px（p>0）的準線為，由拋物線定義和已知條件可知，由此能求出拋物線方程．
（Ⅱ）聯立，消x并化簡整理得y2+8y-8b=0．依題意應有△=64+32b>0，解得b>-2．設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=-8，y1y2=-8b，設圓心Q（x0，y0），則應有，因為以AB為直徑的圓與x軸相切，得到圓半徑為r=|y0|=4，由此能夠推導出圓的方程．

試題解析：

（1）拋物線 的準線為，

由拋物線定義和已知條件可知，

解得，故所求拋物線方程為.

（2）聯立，消并化簡整理得.

依題意應有，解得.

設，則，

設圓心，則應有.

因為以為直徑的圓與軸相切，得到圓半徑為，

.

所以，

解得.

所以，所以圓心為.

故所求圓的方程為.