Question

【題目】已知橢圓方程為，它的一個頂點為，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓交于， 兩點，坐標原點到直線的距離為，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為.（2）面積取得最大值.

【解析】試題分析：（1）由題意列關于a，b，c的方程組，求解可得a，b，c的值，則橢圓方程可求；

（2）當AB⊥x軸時， ；當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m，由坐標原點O到直線l的距離為可得，聯立直線方程與橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，由弦長公式求得|AB|，結合基本不等式求其最大值，則△AOB面積的最大值可求．

試題解析：

（1）設，

依題意得解得∴橢圓的方程為.

（2）①當軸時， .

②當與軸不垂直時，設直線的方程為，

由已知，得，把代入橢圓方程，整理得，

∴.

∴，

.

當且僅當，即時等號成立，此時.③當時， .綜上所述：

，此時面積取最大值.