Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C的方程為y=3+ ．
（1）寫出曲線C的一個參數方程；
（2）在曲線C上取一點P，過點P作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，求矩形OAPB的周長的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C的方程為y=3+ ．

化簡可得：（y﹣3）2=﹣x2+8x﹣15，（y≥3，3≤x≤5）

即：x2+y2﹣8x﹣6y+24=0，

可知圓心為（4，3），半徑r=1，

曲線C的一個參數方程為： （θ為參數）

（2）解：由（1）可知曲線C圓心為（4，3），半徑r=1，（y≥3，3≤x≤5）的半圓．

設一點P的參數坐標為（4+cosθ，3+sinθ）（0≤θ≤π），

過點P作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，

∴|PA|=3+sinθ，|PB|=4+cosθ

∴矩形OAPB的周長l=2|PA|+2|PB|=2|3+sinθ+4+cosθ|=2[7+ sin（ ）]，（0≤θ≤π）

當θ= 時，周長l最大為14+2 ．

當θ=π時，周長l最小為12．

故得矩形OAPB的周長的取值范圍是[12， ]

【解析】（1）采用平方法，化簡曲線C，根據x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得曲線C的一個參數方程；（2）由（1）可知曲線C，曲線C上取一點P的參數坐標，利用三角函數的有界限求解矩形OAPB的周長的取值范圍