Question

【題目】已知函數（）有極小值.

（1）求實數的取值范圍；

（2）若函數在時有唯一零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】【試題分析】（1）求得函數定義域后，對函數求導并令導數等于零，求出導函數的零點，對分成兩類討論函數的單調區間，確定當時符合題意.（2）令，將問題轉化為方程在時有唯一實根. 由（1）知函數在處取得最小值，令，利用導數求得在處取得最大值為，結合唯一實數根這一條件可求得的取值范圍.

【試題解析】

（1）函數定義域為， ，令，得，

當時，若，則；若，則，故在處取得極小值，

當時，若，則；若，則，故在處取得極大值.

所以實數的取值范圍是.

（2）函數在時有唯一零點，即方程在時有唯一實根，

由（1）知函數在處取得最小值，

設， ，令，有，

列表如下

		1
	正	0	負
	增函數	極大值	減函數

故時， ，

又時， ； 時， ， ，

所以方程有唯一實根， 或，此時的取值范圍為或.