Question

【題目】已知點(diǎn)和圓，過的動直線與圓交于、兩點(diǎn)，過作直線，交于點(diǎn)．

（Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）若不經(jīng)過的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，且.求證：直線 恒過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）詳見解析

【解析】

（I）由題意可得是等腰三角形，即，再圓的性質(zhì)和橢圓定義，即可求解的值，得出橢圓的方程；

（II）設(shè)，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，又由，整理求得解得，進(jìn)而判定處直線過定點(diǎn)問題.

（I）由，知是等腰三角形，即.

，

點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，

，故，

因此點(diǎn)的軌跡 .

（II）設(shè)，則

聯(lián)立

則①，又由知：

，

，

將①式代入并化簡得：，解得.

當(dāng)時，直線恒過，不滿足題意；

當(dāng)時，直線恒過定點(diǎn).

當(dāng)直線與橫軸垂直時，令，，

，化簡得，

解得或（舍去），，即此時也有直線過定點(diǎn).

綜上可知，當(dāng)，直線過定點(diǎn).