Question

【題目】已知正項等比數列滿足，，數列滿足.

（1）求數列，的通項公式；

（2）令，求數列的前項和；

（3）若，且對所有的正整數都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）,；（2）；（3）.

【解析】

（1）設等比數列的公比為，則，根據條件可求出的值，利用等比數列的通項公式可求出，再由對數的運算可求出數列的通項公式；

（2）求出數列的通項公式，然后利用錯位相減法求出數列的前項和為；

（3）利用數列單調性的定義求出數列最大項的值為，由題意得出關于的不等式對任意的恒成立，然后利用參變量分離法得出，并利用基本不等式求出在時的最小值，即可得出實數的取值范圍.

（1）設等比數列的公比為，則，由可得，

，，即，，解得，.

；

（2）由（1）可得，

，

可得，

上式下式，得，

因此，；

（3），，

，，即，則有.

所以，數列是單調遞減數列，則數列的最大項為.

由題意可知，關于的不等式對任意的恒成立，.

由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，

則在時的最小值為，，

因此，實數的取值范圍是.