Question

（2013•宜賓一模）已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)且f（1）=1，對(duì)x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁+x₂≠0時(shí)，有

f(x1)+f(x2)

x1+x2

＞0，若f（x）≤m²-2am+1對(duì)所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

{m}m≤-2或m≥2或m=0}

．

Answer 1

分析：利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）是[-1，1]上的增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）≤m²-2am+1對(duì)所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，說(shuō)明f（x）的最大值1小于或等于右邊，因此先將右邊看作a的函數(shù)，m為參數(shù)系數(shù)，解不等式組，即可得出m的取值范圍．

解答：解：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
∵

f(x1)+f(x2)

x1+x2

＞0，
即

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0
∵x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴f（x）是[-1，1]上的增函數(shù)，
要使f（x）≤m²-2am+1對(duì)所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只須f（x）_max≤m²-2am+1，即1≤m²-2am+1對(duì)任意的a∈[-1，1]恒成立，
亦即m²-2am≥0對(duì)任意的a∈[-1，1]恒成立．令g（a）=-2ma+m²，
只須

g(-1)=2m+m2≥0 g(1)=-2m+m2≥0

，解得m≤-2或m≥2或m=0，
故答案為m≤-2或m≥2或m=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的值域、不等式恒成立等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題，解題時(shí)應(yīng)該注意題中的主元與次元的處理．