Question

（2013•宜賓一模）已知函數f（x）=sin（

π

2

-x）cosx-sinx•cos（π+x）．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，若A為銳角，且f（A）=1，BC=2，B=

π

3

，求AC邊的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數f（x）解析式利用誘導公式化簡，整理后利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，找出ω的值，即可求出函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由f（A）=1，以及第一問化簡得到f（x）解析式，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，再由BC，sinB及sinA的值，利用正弦定理即可求出AC的長．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos²x+sinxcosx=

1

2

（cos2x+sin2x+1）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
∵ω=2，∴函數f（x）的最小正周期為π；
（Ⅱ）∵f（A）=

2

2

sin（2A+

π

4

）+

1

2

=1，
∴sin（2A+

π

4

）=

2

2

，
∵A為銳角，∴

π

4

＜2A+

π

4

＜

5π

4

，
∴2A+

π

4

=

3π

4

，即A=

π

4

，
∵BC=2，B=

π

3

，
∴由正弦定理

BC

sinA

=

AC

sinB

得：AC=

2sin π 3

sin π 4

=

6

．

點評：此題考查了正弦定理，三角函數的周期性及其求法，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．