Question

【題目】已知圓與橢圓相交于點M（0，1），N（0，-1），且橢圓的離心率為.

（1）求的值和橢圓C的方程；

（2）過點M的直線交圓O和橢圓C分別于A，B兩點.

①若，求直線的方程；

②設直線NA的斜率為，直線NB的斜率為，問:是否為定值? 如果是，求出定值；如果不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）由交點M（0，1）可求b，由離心率可求a，從而得到橢圓方程；（2）①設出直線l的方程，分別聯立橢圓方程和圓的方程，解出A，B兩點的坐標，由得到關于k的方程，求解即可得到結果；②結合①中A，B兩點的坐標，利用斜率公式直接用k表示和，由此可求得結果.

（1）因為圓與橢圓相交于點M（0，1）所以b=r=1.又離心率為，所以，所以橢圓.

（2）①因為過點M的直線l另交圓O和橢圓C分別于A，B兩點，所以設直線l的方程為，由，得，

則，同理，解得，

因為，則，

因為，所以，即直線l的方程為.

②根據①，，，

，，

所以為定值.