Question

【題目】在中，滿足：，M是的中點.

（1）若，求向量與向量的夾角的余弦值；

（2）若O是線段上任意一點，且，求的最小值：

（3）若點P是內一點，且，，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用向量的數量積公式得到，利用向量的數量積公式展開，求出向量與向量的夾角的余弦值；

（2）通過解三角形求出的長，設，則，利用向量的平行四邊形法則得到而，利用向量的數量積公式將表示成關于的二次函數，通過求二次函數的最值求出最小值；

（3）設，將已知條件利用向量的數量積公式表示成關于的三角函數，將平方轉化為關于的三角函數，然后利用基本不等式求出其最小值．

解：（1）設向量，與向量的夾角為

，

令，.

（2），，

設，則，而，

，

當且僅當時，的最小值是.

（3）設，

，，，

，

同理：，

當且僅當時，

所以.