Question

【題目】如圖，在棱長為1的正方體中，動點在線段上運動，且有.

（1）若，求證：；

（2）若二面角的平面角的余弦值為，求實數的值.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）當時，與重合，連接，可得，再由正方體特征可證得，即可證得平面，問題得證。

（2）以為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系.分別求出平面的一個法向量及平面的一個法向量，利用向量夾角的坐標表示列方程即可求得，問題得解。

（1）當時，與重合，連接，

則在正方形中，.

又在正方體中底面，而平面，所以.

，所以平面，

而平面，所以，也即.

（2）依題意，以為坐標原點，，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，.

，，.

設平面的一個法向量，

則，即，

取得.

設平面的一個法向量，

則，即，

取得.

所以 ，

解得或.

因為，所以.