Question

【題目】一個三角形數表按如下方式構成（如圖：其中項數）：第一行是以4為首項，4為公差的等差數列，從第二行起，每一個數是其肩上兩個數的和，例如：；為數表中第行的第個數.

…

…

…

……

（1）求第2行和第3行的通項公式和；

（2）證明：數表中除最后2行外每一行的數都依次成等差數列，并求關于的表達式；

（3）若，，試求一個等比數列，使得，且對于任意的，均存在實數，當時，都有.

Answer 1

【答案】（1）。.

（2）見證明；（3）.

【解析】

（1）根據等差數列和等比數列的定義即可求出相應的通項公式，（2）根據條件建立方程關系即可求出f（i，1）的表達式．（3）根據條件尋找等比數列g（i），即可得到結論．

（1）

.

（2）由已知，第一行是等差數列，假設第行是以為公差的等差數列，

則由

（常數）知第行的數也依次成等差數列，且其公差為.綜上可得，數表中除最后2行以外每一行都成等差數列；

由于，，所以，所以

，由，

得，

于是，

即，又因為，

所以，數列是以2為首項，1為公差的等差數列，

所以，，所以.

（3），

，

令，

.

，

，

，

令，則當時，都有，

∴適合題設的一個等比數列為.