Question

【題目】已知橢圓經過兩點，為坐標原點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設動直線與橢圓有且僅有一個公共點，且與圓相交于兩點，試問直線與的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值，

【解析】

（1）將兩點坐標代入橢圓方程，建立的方程組，即可求出結論；

（2）先求出直線斜率不存在時的值，當直線斜率存在時，設其方程為，與橢圓方程聯立，根據已知求出關系，再將直線與圓方程聯立，根據根與系數關系將坐標用表示，進而求出，即可得出結論.

（1）依題意，，解得，

所以橢圓方程為.

（2）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為.

若直線l的方程為，則M，N的坐標為，

.

若直線l的方程為，則M，N的坐標為，

.

當直線l的斜率存在時，可設直線，

與橢圓方程聯立可得，

由相切可得，

.

又，消去得

，

設，，則

∴，

.

故為定值且定值為.

綜上，為定值且定值為.