Question

【題目】在斜三棱柱（側棱不垂直于底面）中，側面底面，底面是邊長為2的正三角形，，.

（1）求證：；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取的中點，連接，，通過證明，，證得平面，由此證得.

（2）解法一：利用幾何法作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的正切值，再求得其正弦值.

解法二：建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值，再求得其正弦值.

（1）證明：如圖，取的中點，連接，，

∵，

∴，

∵底面是邊長為2的正三角形，

∴，，

∴，又，

∴平面，且平面，

∴.

（2）解法一：如上圖，過點作于點，連接.

∵側面底面，

∴側面平面，又，側面平面，

∴側面，又平面，

∴，又且，

∴平面，∴，

∴為所求二面角的平面角，

∵，∴，

又，∴，

∴二面角的正弦值為.

法二：如圖，取的中點，以為坐標原點，射線，，分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，

∴，，

設為平面的法向量，

∴，

令，得，

又為平面的一個法向量，

設二面角的大小為，顯然為銳角，

，

則，∴二面角的正弦值為.