Question

（2007•河?xùn)|區(qū)一模）已知正四棱錐以棱長為1的正方體的某個(gè)面為底面，且與該正方體有相同的全面積，則這一正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角的余弦值為（　　）

• A．

  13

  13

• B．

  3

  6

• C．

  3

  3

• D．

  26

  26

Answer 1

分析：根據(jù)題意，算出正四棱錐一個(gè)側(cè)面的面積為

5

4

，從而算出斜高h(yuǎn)=

5

2

，進(jìn)而得出它的側(cè)棱長為

26

2

．再由正四棱錐的定義得側(cè)棱在底面的射影長為底面對(duì)角線的一半，結(jié)合直線與平面所成角的定義即可算出正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角的余弦值．

解答：解：∵棱長為1的正方體，全面積為6
∴題中正四棱錐的側(cè)面積為5，可得一個(gè)側(cè)面的面積為

5

4

設(shè)它的側(cè)棱長為l，則它的斜高h(yuǎn)=

l2-( 1 2 )2

∵一個(gè)側(cè)面的面積為S=

1

2

×1×h=

5

4

∴h=

5

2

，即

l2-( 1 2 )2

=

5

2

，解之得側(cè)棱長l=

26

2

又∵正四棱錐中，側(cè)棱在底面的射影長為底面對(duì)角線的一半
∴正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角為α，則cosα=

2 2

26 2

=

13

13

即這一正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角的余弦值為

13

13

故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的正四棱錐，求它的側(cè)棱與底面所成角的大小．著重考查了正四棱錐的性質(zhì)、解三角形和直線與平面所成角的定義及求法等知識(shí)，屬于中檔題．