Question

【題目】已知焦點在軸上的橢圓的中心是原點，離心率為雙曲線離心率的一半，直線被橢圓截得的線段長為.直線： 與軸交于點，與橢圓交于兩個相異點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在實數，使？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或或．

【解析】試題分析：(Ⅰ)設出橢圓的標準方程，利用離心率、四邊形的周長進行求解；(Ⅱ)利用平面向量的線性運算得到的關系，聯立直線與橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，利用橢圓的對稱性、平面向量的坐標運算和判別式進行求解．

試題解析：（Ⅰ）根據已知設橢圓的方程為，焦距為，

由已知得，∴.

∵以橢圓的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為，

∴.

∴橢圓的方程為.

（Ⅱ）根據已知得，由，得.

∴.∵,∴，

若，由橢圓的對稱性得，即.

∴能使成立.

若，則，解得.

設，由得，

由已知得，即.

且.…10分

由得，即.∴,

∴，即.

當時， 不成立.∴,

∵,∴,即.

∴,解得或.

綜上述，當或或時， .