Question

【題目】已知函數(shù) （是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，當(dāng)對任意恒成立時， 的最大值為，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.（2）

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變號分類討論：當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)不變號， 在上單調(diào)遞增. 當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)先負后正，即在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.（2）不等式恒成立問題，一般利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題： 最小值，根據(jù)的最大值為，轉(zhuǎn)化為恒成立.利用導(dǎo)數(shù)可研究函數(shù)單調(diào)性及最值，可得為單調(diào)遞增函數(shù)，則,即得實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）因為，所以.

當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時，令，得令， 得，

所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

（2），即對任意恒成立，

所以對任意恒成立.

令， ，因為的最大值為，

所以恒成立.

由于，滿足題意.

因此的取值范圍是.