Question

【題目】設定義在區間上的函數的圖象為， 、，且為圖象上的任意一點， 為坐標原點，當實數滿足時，記向量，若恒成立，則稱函數在區間上可在標準下線性近似，其中是一個確定的正數.

（1）設函數在區間上可在標準下線性近似，求的取值范圍；

（2）已知函數的反函數為，函數，（ ），點、，記直線的斜率為，若，問：是否存在，使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：

(1)利用標準下線性近似的定義得到恒成立問題，結合題意求解 的取值范圍即可；

(2)利用題意構造函數 ，結合函數零點存在定理證得 是存在的，然后結合導函數與原函數的關系求解取值范圍即可.

試題解析：

(1)由與，

得和的橫坐標相同。

對于區間上的函數, ,

則有

，再由恒成立,可得.故k的取值范圍為

(2)由題意知, 令.則

令 .則

當t<0時, , 單調遞減;當t>0時, , 單調遞增.

故當t≠0時, 0,即，

從而

所以.

由零點存在性定理可得：存在,使得

又 ,所以單調遞增,故存在唯一的,使得.

由.故當且僅當時,

綜上所述,存在,使成立,且的取值范圍為