Question

【題目】已知向量 =（a，cos2x）， =（1+sin2x ， ），x∈R，記f（x）= ．若y=f（x）的圖象經過點（ ，2 ）．
（1）求實數a的值；
（2）設x∈[﹣ ， ]，求f（x）的最大值和最小值；
（3）將y=f（x）的圖象向右平移 ，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到y=g（x）的圖象，求y=g（x）的單調遞減區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= =a（1+sin2x）+ cos2x 經過點（ ，2 ）．

∴f（ ）=2

∴a=1；

（2）解：∵a=1∴f（x）=sin2x+ cos2x+1=2sin（2x+ ）+1

∵x∈[﹣ ， ]∴2x+

∴f（x）min=0，f（x）max=3

（3）解：∵將y=f（x）的圖象向右平移 可得 y=2sin（2x+ ）+1

將y=f（x）的圖象橫坐標伸長到原來的4倍可得：y=2sin（ x+ ）+1

令 可求出

故函數g（x）的單調遞減區間為：

【解析】（1）表示出函數f（x）后將點代入即可求出a的值．（2）將a的值代入函數f（x），由x的取值區間可求出最值．（3）先將函數f（x）平移變換得到函數g（x），再求其單調區間．
【考點精析】通過靈活運用平面向量的坐標運算，掌握坐標運算：設，則;;設，則即可以解答此題．