Question

【題目】已知橢圓的一個焦點為，離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）利用題中條件求出的值，然后根據離心率求出的值，最后根據、、三者的關系求出的值，從而確定橢圓的標準方程；（2）分兩種情況進行計算：第一種是在從點所引的兩條切線的斜率都存在的前提下，設兩條切線的斜率分別為、，并由兩條切線的垂直關系得到，并設從點所引的直線方程為，將此直線的方程與橢圓的方程聯立得到關于的一元二次方程，利用得到有關的一元二次方程，最后利用以及韋達定理得到點的軌跡方程；第二種情況是兩條切線與坐標軸垂直的情況下求出點的坐標，并驗證點是否在第一種情況下所得到的軌跡上，從而得到點的軌跡方程.

（1）由題意知，且有，即，解得，

因此橢圓的標準方程為；

（2）①設從點所引的直線的方程為，即，

當從點所引的橢圓的兩條切線的斜率都存在時，分別設為、，則，

將直線的方程代入橢圓的方程并化簡得，

，

化簡得，即，

則、是關于的一元二次方程的兩根，則，

化簡得；

②當從點所引的兩條切線均與坐標軸垂直，則的坐標為，此時點也在圓上.

綜上所述，點的軌跡方程為.